5.1 的掉落表是无记忆的：每一次抽条都独立，抽过多少次不影响下一次。这在数学上最干净，在体感上最糟糕——因为玩家记住的从来不是平均值，而是那次连抽 40 发什么都没出。这一节讲的就是怎么给随机加上「记忆」，把长尾收进一个可接受的区间。
边界先划清：这一节只谈出货的抽数分布怎么被保底改变，不谈「一抽多少钱、保底值不值」。后者是定价问题，留给第 6 章 。
纯随机没有记忆
如果每次抽卡独立地以 3% 概率出货，那么「出货所需抽数」服从几何分布。它有两个不受欢迎的性质：
- 长尾：p90 是 76 抽，p99 是 152 抽。也就是说，每一百个玩家里，有一个要抽到 150 次以上才出。5.3 会把这个分布算细，这里先记住结论：尾部极长。
- 体感与概率背离：玩家觉得「连抽 30 发不出货很不正常」，但在 3% 下，30 抽全不出的概率是
0.97³⁰ ≈ 40.1%——接近四成的人都会经历。可玩家的直觉是「不可能这么背」，于是体感就成了「这游戏概率有问题」。
结论是：纯独立随机在数学上正确，在产品上不可接受。修正它有三种常见手段。
三种修正手段
| 手段 | 机制 | 效果 |
|---|---|---|
| 硬保底 | 连续 N 抽未出，第 N 抽必出 | 尾部被一刀切断，上界确定 |
| 软保底 | 连续 N 抽未出后，概率逐抽递增 | 尾部平滑收窄，无硬拐点 |
| 伪随机分布（PRD） | 概率随失败次数上升，成功即重置 | 降低方差，方差比独立随机更小 |
三者可以叠加。《王朝纪元》用的是软保底 + 硬保底的组合：软保底负责让体验「越抽越有希望」，硬保底负责兜底一个绝对上界。这也正是真实竞品里常见的一种公开可观察结构（例如多数手游在达到一定抽数后概率公示会写明「概率提升」并给出硬保底——此处仅作公开可观察机制引用，具体数值因游戏而异，本文所有数字都来自自己的 config/）。
保底参数
保底参数与掉落表放在同一份 config/ 里。下面这段是 D 层配置片段（完整文件见 5.1 的 config/n05_drops.json）：
"pity": {
"targetRarity": "legendary",
"basePct": 3,
"softPityStart": 40,
"softPityStepPct": 6,
"hardPity": 60
}
读出这张表的规则：
- 第 1–39 抽：出货概率恒为
basePct = 3%。 - 第 40 抽起：概率按
3% + (n − 40 + 1) × 6%递增，第 40 抽是 9%，第 41 抽 15%…… - 第 60 抽：
hardPity触发，概率 100%。
三个数字各有分工：basePct 定基础概率，softPityStart 定「开始变暖」的位置，hardPity 定绝对上界。softPityStepPct 决定尾巴收得多快。
仿真：纯基础 vs 软/硬保底
下面这段是 S 层仿真脚本，用同一确定性 PRNG 各跑 20000 名玩家，统计两种模式下「多少抽出货」的分布与累计分布函数（CDF）。
# file: sim/n05_pity.py
# tier: S
# verify: python3 sim/n05_pity.py --config config/ --out out/
"""伪随机与保底机制（5.2）：对比「纯基础概率」与「软/硬保底」两种抽卡序列。
纯基础模式：每次独立 basePct 概率出货（几何分布，无记忆）。
保底模式：连续未出货到 softPityStart 后概率线性递增，到 hardPity 必出。
两模式用同一确定性 PRNG 跑固定人数，统计「多少抽出货」的分布与 CDF。
产出：out/n05_pity.json + out/n05_pity.csv + out/n05_pity.svg
"""
from __future__ import annotations
import argparse
import csv
import json
import os
import sys
import xml.etree.ElementTree as ET
sys.path.insert(0, os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)))
from svg_line import polyline_points # noqa: E402
SVG_NS = "http://www.w3.org/2000/svg"
def mulberry32(seed):
"""确定性 PRNG：与 proto/src/n05_drops.ts 逐位一致。"""
state = seed & 0xFFFFFFFF
def nxt():
nonlocal state
state = (state + 0x6D2B79F5) & 0xFFFFFFFF
t = ((state ^ (state >> 15)) * (state | 1)) & 0xFFFFFFFF
t = (t ^ (t + (((t ^ (t >> 7)) * (t | 61)) & 0xFFFFFFFF))) & 0xFFFFFFFF
return ((t ^ (t >> 14)) & 0xFFFFFFFF) / 4294967296.0
return nxt
def load(path):
with open(path, encoding="utf-8") as f:
return json.load(f)
def pity_pct(n, base, soft_start, step, hard):
"""第 n 抽（自上次出货起算）的出货概率（整数百分比）。"""
if n >= hard:
return 100
if n >= soft_start:
return min(100, base + (n - soft_start + 1) * step)
return base
def pulls_base(pct, rng):
n = 0
while True:
n += 1
if rng() * 100 < pct:
return n
def pulls_pity(cfg, rng):
n = 0
while True:
n += 1
if rng() * 100 < pity_pct(n, cfg["basePct"], cfg["softPityStart"],
cfg["softPityStepPct"], cfg["hardPity"]):
return n
def pctl(sorted_vals, p):
return sorted_vals[min(len(sorted_vals) - 1, (p * len(sorted_vals)) // 100)]
def summarize(vals):
s = sorted(vals)
n = len(s)
mean = sum(s) / n
var = sum((v - mean) ** 2 for v in s) / n
return {"mean": round(mean, 3), "std": round(var ** 0.5, 3),
"p50": pctl(s, 50), "p90": pctl(s, 90), "p99": pctl(s, 99), "max": s[-1]}
def render_multi(path, series, title):
allv = [v for _, ys, _ in series for v in ys]
lo, hi = min(allv), max(allv)
svg = ET.Element("svg", {"xmlns": SVG_NS, "viewBox": "0 0 640 360", "width": "640", "height": "360"})
ET.SubElement(svg, "rect", {"width": "640", "height": "360", "fill": "#ffffff"})
for _, ys, color in series:
ET.SubElement(svg, "polyline", {"points": polyline_points(ys, lo, hi),
"fill": "none", "stroke": color, "stroke-width": "2"})
t = ET.SubElement(svg, "text", {"x": "56", "y": "16", "font-size": "13", "fill": "#111"})
t.text = title
os.makedirs(os.path.dirname(path), exist_ok=True)
ET.ElementTree(svg).write(path, encoding="utf-8", xml_declaration=True)
return path
def main() -> int:
ap = argparse.ArgumentParser()
ap.add_argument("--config", default="config/")
ap.add_argument("--out", default="out/")
args = ap.parse_args()
cfg = load(os.path.join(args.config, "n05_drops.json"))["pity"]
players = load(os.path.join(args.config, "n05_drops.json"))["sim"]["players"]
base = cfg["basePct"]
hard = cfg["hardPity"]
rng = mulberry32(20261012)
base_vals = [pulls_base(base, rng) for _ in range(players)]
pity_vals = [pulls_pity(cfg, rng) for _ in range(players)]
# CDF：累计到第 n 抽出货的玩家占比
max_n = max(max(base_vals), max(pity_vals))
cdf_base, cdf_pity = [], []
for n in range(1, max_n + 1):
cdf_base.append(100.0 * sum(1 for v in base_vals if v <= n) / players)
cdf_pity.append(100.0 * sum(1 for v in pity_vals if v <= n) / players)
report = {
"version": 1, "players": players, "basePct": base,
"softPityStart": cfg["softPityStart"], "hardPity": hard,
"base": summarize(base_vals), "pity": summarize(pity_vals),
"baseHardCapHits": sum(1 for v in base_vals if v >= hard),
"pityHardCapHits": sum(1 for v in pity_vals if v >= hard),
}
os.makedirs(args.out, exist_ok=True)
with open(os.path.join(args.out, "n05_pity.json"), "w", encoding="utf-8") as f:
json.dump(report, f, ensure_ascii=False, indent=2)
with open(os.path.join(args.out, "n05_pity.csv"), "w", encoding="utf-8", newline="") as f:
w = csv.writer(f)
w.writerow(["pulls", "cdfBasePct", "cdfPityPct"])
for n in range(max_n):
w.writerow([n + 1, round(cdf_base[n], 4), round(cdf_pity[n], 4)])
render_multi(os.path.join(args.out, "n05_pity.svg"),
[("纯基础", cdf_base, "#d1242f"), ("软/硬保底", cdf_pity, "#1f6feb")],
f"出货 CDF：基础 p50={report['base']['p50']} / 保底 p50={report['pity']['p50']}")
print(f"纯基础：均值 {report['base']['mean']} p50 {report['base']['p50']} "
f"p90 {report['base']['p90']} p99 {report['base']['p99']} max {report['base']['max']}")
print(f"保底 ：均值 {report['pity']['mean']} p50 {report['pity']['p50']} "
f"p90 {report['pity']['p90']} p99 {report['pity']['p99']} max {report['pity']['max']}")
print(f"硬保底命中：基础 {report['baseHardCapHits']} 人 / 保底 {report['pityHardCapHits']} 人（共 {players}）")
return 0
if __name__ == "__main__":
raise SystemExit(main())
本机实跑输出（同机相对量级，绝对数值不可移植）：
纯基础：均值 33.246 p50 23 p90 76 p99 152 max 305
保底 ：均值 24.543 p50 23 p90 44 p99 48 max 52
硬保底命中：基础 3292 人 / 保底 0 人（共 20000）
三行数字，三个结论：
- 均值从 33.25 抽降到 24.54 抽——保底把「平均要抽多久」压掉了约四分之一。
- p50 两边都是 23 抽，p90 却从 76 抽压到 44 抽。中位数几乎不动，说明保底没怎么改变「大多数人」的体验，它改的是尾巴。
- 硬保底命中人数从 3292 人（16.5%）降到 0 人。纯基础下有 16.5% 的玩家要抽满 60 次以上；保底模式下没有一个人需要抽到 60 抽——因为软保底早在第 52 抽之前就把所有人都捞出来了。
读 CDF：保底把概率搬到了哪里
out/n05_pity.csv 记录了两条 CDF。抽样看几个关键抽数：
| 抽数 | 纯基础累计 | 保底累计 |
|---|---|---|
| 20 | 45.53% | 45.66% |
| 23 | 50.35% | 50.44% |
| 39 | 69.70% | 69.47% |
| 40 | 70.68% | 72.38% |
| 43 | 73.48% | 86.45% |
| 45 | 75.13% | 94.33% |
| 48 | 77.23% | 99.37% |
| 49 | 77.93% | 99.75% |
第 40 抽之前，两条线几乎重合——这是保底的第一个设计要点：软保底之前不能动，否则等于变相提高基础概率，稀释了「抽到即惊喜」的爽感。第 40 抽起两条线急剧分岔：到第 45 抽，保底玩家已有 94.33% 出货，纯基础只有 75.13%；到第 48 抽，保底 99.37%，纯基础还停在 77.23%。
out/n05_pity.svg 把这两条 CDF 画在一起：红线（纯基础）是一条平缓爬升的曲线，蓝线（保底）在 40 抽处拐了个明显的弯。那个拐点就是保底「记忆」开始起作用的地方。
保底设计的三条纪律
从这张图和数字里能抽出三条可复用的纪律：
- 软保底的起点要藏在体感阈值之后。40 抽是个心理坎——多数玩家在 40 抽内就该有结果，软保底若从第 10 抽就启动，等于把基础概率偷偷抬高，长线看会拉低单抽的期望价值。
- 硬保底是兜底，不是主菜。本例里软保底已经让硬保底命中数为 0——硬保底的真正作用是给一个可公示、可承诺的上界，让玩家相信「最坏也就 60 抽」，而不是真的指望玩家抽到 60 抽。
- 保底不改变中位数，只改变尾部。p50 从 23 到 23 纹丝不动。所以保底不该被当成拉高平均出货率的手段——它是体验保险，不是数值杠杆。
小结
这一节给纯随机加上了「记忆」：
- 纯随机的两个病：长尾（p99 = 152 抽）与体感背离（30 抽不出货占 40%）。
- 软 + 硬保底把均值压到 24.54 抽、p90 压到 44 抽、硬保底命中清零，同时几乎不动中位数。
- CDF 的拐点是保底生效的位置，起点要选在体感阈值之后。
- 三条纪律：起点藏后、硬保底做承诺、保底是保险不是杠杆。
保底改变了分布的形状，但「这分布到底多稳、尾部还剩多少风险」还没量化。下一节用期望、方差与体验区间把整条分布钉死。
阅读导航：上一节：5.1 掉落表与概率分布 · 下一节：5.3 期望、方差与体验区间 。
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