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7.1 概率密度与权重
蒙特卡洛估计量只有一个形状 `f/p`，方差全由采样用的概率密度 `p` 决定。本节先在半球上把 `p` 归一数清楚——漏掉 `1/π` 的 `cosθ` 会得 π 而不是 1；再用 `f(x)=2x` 量三条 pdf：匹配的 `2x` 让权重恒为 1、方差恰为 0，反匹配的 `2(1−x)` 把最大权重推到 255。最后把 `fdiv` 的截断误差与除零边界摆出来。
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6.3 无偏性与偏差
截断与轮盘赌都会让图像偏离参考解，但只有一个是错的：maxDepth 硬截断丢掉 (ab)^K 的尾部能量，是偏差；俄罗斯轮盘赌的权重补偿保持期望不变，只放大方差。本节用双板腔把两条曲线分开量，截断偏差从 0.44442655 降到 0.00010173 后被定点地板挡住，轮盘赌标准差从 0.459160 涨到 5.258522。
6.2 路径采样
路径追踪把渲染方程改写成可估计的形式：方向按余弦加权采样，权重退化成 albedo 的连乘，一条路径就是一个样本。本节用确定性 SplitMix64 走完整条路径，量出 maxDepth 从 1 抬到 16 时平均亮度从 26032.93 爬到 33362.13，再用俄罗斯轮盘赌把每条路径的求交次数从 12.1170 砍到 2.7717。
6.1 渲染方程
渲染方程把一个像素的颜色写成第二类 Fredholm 积分方程：出射辐亮度等于自发光加上半球上入射辐亮度的积分。本节逐项拆解它，再用 Neumann 级数展成「每次弹射一项」的几何级数——双板腔真值 1.199936，截断 K 项的相对偏差恰为 (ab)^K；灯箱实测第一阶占 0.592314，第 8 阶之后只剩 0.00781676。
5.3 分层与低差异序列
分层把立方体切成 4×4 格子，低差异序列让点自己避开彼此：同一个 d 球占比积分上，4096 个 Halton 点抵得上 7.4 万个随机点，log-log 斜率从 −0.4980 陡到 −0.7103。但这份红利随维度迅速蒸发，8 维时优势只剩 1.4 倍。
5.2 方差与收敛
估计量的方差是 σ²/N，误差只能按 1/√N 降。本节把这条定律量成一个小数：7 档 N × 2048 条独立子流，log-log 最小二乘拟合出斜率 −0.4978，落在 −0.5 ± 0.03 内；再把 pdf 写错成 1.1，总误差被常数偏差压平到 −0.2638，而方差那条纹丝不动。
5.1 积分与估计
蒙特卡洛积分把「算一个积分」换成「估一个积分」：无偏估计量的均值收敛到真值，偏差则永远停在那里。本节讲清无偏性成立的条件，逐位核对 SplitMix64 的掩码语义——漏掉 `& RNG_MASK` 会让输出涨到 191 位、Q16.16 采样当场失效；再用 3 分箱卡方量出取模的量化偏置：值域 2^4 时 χ² = 15677，而 64 位拒绝采样只有 1.301。
4.3 递归的光线树
光线树把「反射的光线还能再反射」显式组织成一棵按深度分层的树：depth 只是透传给着色器的参数，形状由着色器决定。实测每层光线 76800 / 44877 / 9232 / 6881 / 6269，代价随深度亚线性增长（每主光线 2.686 → 3.236 条），而在某一层截断会引入单边偏差而非无偏估计。
4.2 镜面反射与折射
反射方向 r = d - 2(d·n)n 与 Snell 折射在 Q16.16 下逐位算清：4096 组随机单位向量的单位性偏差最大 55；eta = 1.5 时 3061 组全内反射；临界角公式与整数扫描在水 / 玻璃 / 金刚石三档互证到 1–2 LSB。菲涅尔 x^5 的平方链与逐次相乘实测不逐位相同（429/4096 差 1 LSB）。
4.1 硬阴影与阴影光线
硬阴影只有「被挡住」和「没被挡住」两种结果，判据是一条从命中点指向光源的阴影光线。本节把 `off` 是沿法线的偏移向量、不是起点这件事讲透：写错一行，77211 条阴影光线的遮挡数会从 1357 涨到 77210，画面只剩环境光。最后用一张方向光掩码数出像素层面的真阴影 839 个。
3.3 BVH 的遍历与代价
把 BVH 打开、关掉、再只去掉 best_t 收缩：三个模式跑同一条代码路径、同一批 76800 条主光线，用可逐条复现的整数计数（访问节点数、三角形测试数）与逐像素比对，回答加速结构到底省掉了什么、又省得够不够多；全部结论只建立在计数上，不做速度断言。
3.2 BVH 的构建
本节拆开 BVH 的构建：划分轴为什么按最长轴选、中位数划分平均花掉 SAH 最优代价的多少倍、叶子容量从 1 扫到 32 时每条光线的访问与测试各是多少，以及排序键的除法为什么必须走 floorDiv 才能在两个宿主上复现同一棵树、而不是只复现节点数。
3.1 包围盒与 BVH
把 896 个三角形收进一棵扁平整数数组的 BVH：叶子 9 个整数、内部节点 10 个，left 等于负一是整棵树唯一的类型标签。本节立起两条不变量——父盒包含两个子盒、叶盒包含它引用的每个三角形，再把 slab 判据逐轴展开到方向分量为 0 的退化分支，全部落到实跑输出。
2.3 容差与自交
自交与容差的边界分析：EPSILON 被两条可测量的边界夹住——下界是地形自交在 eps>=16 清零，上界是场景里最小的可见几何间隙 174 Q16.16；实测丢遮挡在 eps=256 起出现，并解释为什么偏移要沿法线而不是沿光线，以及球自交为何清不干净。
2.2 Möller–Trumbore 与数值稳定性
Möller–Trumbore 的除法链在 Q16.16 定点下的量级实测（原始乘积到 2^49、除法分子到 2^39，故 TS 侧必须全程 BigInt）；det 趋近 0 时相对误差从 0.061‰ 涨到 46.1426‰ 的扫描，以及真实命中里为什么不能按 det 大小做 epsilon 剔除。
2.1 球、平面与三角形
三条解析求交原语——光线-球、光线-平面、光线-三角形的闭式解，连同方向与平面平行、交点在光线背后、方向与三角形共面三个退化情形一律返回 None 的口径；再用真实场景量出解析球与八面体细分网格之间的面化误差，看清网格近似在离线光追里的真实代价。
16.3 交付与后续
卷三的交付账本：三卷基线 .rgb 的 sha256 逐个复核，六条计数恒等式（主光线 76800、BVH 访问 3238333 = 主光线 + 阴影光线、掩码对称差 4）逐条对账，六档可运行性各写清证明了什么；另给出已证明 4 条与未证明 5 条（真实 GPU、生产级材质、硬件光追 API 等），以及三条扰动轴的软告警。
16.2 三卷一致性总检
把三卷基线的 sha256、计数与容差判据并成一张表：卷一顶点光栅化 bac65977…、卷二逐像素 0d997343…、卷三主光线 213b4130…，三者命中或覆盖都是 43731 像素；再引第 13.3 与第 14.3 节的实测锚给出反直觉结论——列口径真 bug 下两个语言实现仍逐字节相同，只有掩码对称差（4 对 22212）抓得出来。
16.1 渲染器的全链路回放
把 config/scene_spec.json 到像素缓冲的八级链路逐级重放：规格摘要、相机基行口径、76800 条主光线方向摘要、BVH 511 节点高 9、命中 43731 像素、阴影光线 77211（遮挡 1357）、遍历 3238333 节点，末级 sha256 与卷三基线逐字节相同，P 层在 BigInt 里复现每一级摘要。
15.3 参数与质量的取舍
把分辨率、每像素样本数、最大弹射深度、BVH 叶子容量四条旋钮各转一遍，用「相对参考解的 MAE」对「本机墙钟」给出取舍表；实测样本数在 9 spp 之后饱和（MAE 只再降 1.5463 倍），叶子容量的遍历代价在 leaf=4 处取到最小值，未达预期的组合以软告警列出。