3.1 结局分布的熵
《游戏设计》卷二《策略涌现与体验度量》 量的是机制层的分布与平衡——一局战斗的动力学、资源守恒、动作密度；本章量的是叙事层的结局分布与分支平衡——玩家路径的形状。两者共享「整数化 + 确定性 + proxy 口径」的纪律，但不共享任何字段：那一套的真源是机制数值，这一套的真源是叙事结构与条件。结局分布的第一个量，是熵。
一个数会骗人：熵有四个
「结局分布均不均匀」听起来是一个数，其实是四个，混在一起就错：
- 熵上界
upper：5 个结局均匀分布时的最大熵，floor(log2(5)*1000) = 2321毫比特。这是理论上界，不是任何一次实跑的观测值。 - 单路径熵
single：一条路径只落到 1 个结局，分布退化成单点，熵 = 0 毫比特。这不是坏消息——单条路径本来就只经历一个结局，熵为 0 是定义使然。 - 路径采样熵
sampled：20000 条均匀随机路径的结局分布算出的熵（路径均匀口径）。 - 状态枚举熵
bfs：BFS 全量枚举可达状态，按落在每个结局节点的状态数算（状态均匀口径）。
后两个都是「实测值」，却给出不同的数——因为口径不同：一个是「随机走一条路，落到各结局的频率」，另一个是「状态空间里落在各终局节点的状态数占比」。口径必须先声明，否则「熵是多少」这个问题没有唯一答案。
S 层：把四个熵算成毫比特整数
下面这段 S 层脚本 sim/nm_03_1_ending_entropy.py 一次算出四个熵，并顺手用纯 xml.etree 把采样分布画成一张 SVG。它复用公共内核 sim/nm_03_common.py（Lehmer MINSTD 同算法同种子、打包整数 BFS），只读 config/story_spec.json。
#!/usr/bin/env python3
# file: sim/nm_03_1_ending_entropy.py
# tier: S
# verify: /opt/homebrew/bin/python3 sim/nm_03_1_ending_entropy.py
"""卷三 3.1 结局分布的熵（S 层）：四个量分开报，混在一起就错。
1) 熵上界 upper —— 5 个结局均匀分布 = floor(log2(5)*1000) = 2321 毫比特；
2) 单路径熵 single —— 一条路径只到 1 个结局，分布退化为单点，熵 = 0 毫比特；
3) 路径采样熵 sampled —— 20000 条均匀随机路径的结局分布（**路径均匀**口径）；
4) 状态枚举熵 bfs —— BFS 全量枚举可达状态，按落在每个结局节点的**状态数**算
（**状态均匀**口径，与采样口径不同）。
「上界 ≠ 实测值」，且两个实测口径给出不同的数——这正是口径必须声明的理由。
公共内核见 sim/nm_03_common.py。口径（proxy）：只做相对比较，不声称叙事更好。
产出 out/nm_03_1_ending_entropy.json + .csv + .svg。
"""
from __future__ import annotations
import csv
import json
import math
import os
import sys
import xml.etree.ElementTree as ET
from nm_03_common import (OUT, Rng, SEED, bfs_packed, entropy_milli_bits,
load_spec, walk)
SAMPLE_N = 20000
SVG_NS = "http://www.w3.org/2000/svg"
def write_svg(names, shares, path):
w, h, pad = 520, 240, 40
root = ET.Element("svg", {"xmlns": SVG_NS, "width": str(w), "height": str(h),
"viewBox": f"0 0 {w} {h}"})
ET.SubElement(root, "rect", {"x": "0", "y": "0", "width": str(w), "height": str(h),
"fill": "#0f172a"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(pad), "y": "26", "fill": "#e2e8f0",
"font-size": "14"}).text = "结局分布（千分比，20000 条采样）"
bw = (w - 2 * pad) // len(names)
for i, (nm, sh) in enumerate(zip(names, shares)):
bh = (h - pad - 40) * sh // 1000
x = pad + i * bw + 8
ET.SubElement(root, "rect", {"x": str(x), "y": str(h - pad - bh), "width": str(bw - 16),
"height": str(bh), "fill": "#38bdf8"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(x), "y": str(h - pad + 16), "fill": "#cbd5e1",
"font-size": "12"}).text = nm
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(x), "y": str(h - pad - bh - 6), "fill": "#e2e8f0",
"font-size": "12"}).text = str(sh)
ET.ElementTree(root).write(path, encoding="utf-8", xml_declaration=True)
ET.fromstring(open(path, encoding="utf-8").read()) # 回读校验合法性
def main() -> int:
spec = load_spec()
order = [e["name"] for e in spec["endings"]]
n_ends = len(order)
thr = spec["metrics"]["ending_entropy_min_milli_bits"]
# 1) 熵上界：n 个结局均匀分布时的最大熵
upper = int(math.log2(n_ends) * 1000)
# 2) 单路径熵：确定性首选项策略只落到 1 个结局 → 分布退化为单点 → 熵 0
single_end, _ = walk(spec)
single = entropy_milli_bits([1], 1)
# 3) 路径采样熵：20000 条均匀随机路径
rng = Rng(SEED)
dist = {nm: 0 for nm in order}
for _ in range(SAMPLE_N):
name, _ = walk(spec, rng)
if name:
dist[name] += 1
counts = [dist[nm] for nm in order]
sampled = entropy_milli_bits(counts, SAMPLE_N)
shares = [c * 1000 // SAMPLE_N for c in counts]
# 4) 状态枚举熵：BFS 全量枚举（状态均匀口径）
by_node = {n["id"]: n.get("ending") for n in spec["dialogue"]}
bfs = {nm: 0 for nm in order}
def on_state(node, aff, fl, it):
name = by_node.get(node)
if name:
bfs[name] += 1
states, budget_hit = bfs_packed(spec, on_state)
bfs_counts = [bfs[nm] for nm in order]
bfs_total = sum(bfs_counts)
bfs_ent = entropy_milli_bits(bfs_counts, bfs_total)
os.makedirs(OUT, exist_ok=True)
with open(os.path.join(OUT, "nm_03_1_ending_entropy.csv"), "w", encoding="utf-8", newline="") as fh:
w = csv.writer(fh)
w.writerow(["ending", "sample_count", "sample_share_permille", "bfs_state_count"])
for nm, c, sh, bc in zip(order, counts, shares, bfs_counts):
w.writerow([nm, c, sh, bc])
report = {
"endings": n_ends,
"entropy_upper_milli_bits": upper,
"entropy_single_path_milli_bits": single,
"single_path_ending": single_end,
"sample_n": SAMPLE_N, "seed": SEED,
"sampled_distribution": dist,
"entropy_sampled_milli_bits": sampled,
"entropy_normalized_permille": sampled * 1000 // upper,
"bfs_distribution": bfs,
"bfs_states": states, "bfs_budget_hit": budget_hit, "bfs_terminal_states": bfs_total,
"entropy_bfs_milli_bits": bfs_ent,
"entropy_min_milli_bits": thr,
}
with open(os.path.join(OUT, "nm_03_1_ending_entropy.json"), "w", encoding="utf-8") as fh:
json.dump(report, fh, ensure_ascii=False, indent=2)
fh.write("\n")
write_svg(order, shares, os.path.join(OUT, "nm_03_1_ending_entropy.svg"))
print(f"结局数 {n_ends}")
print(f"熵上界 {upper} 毫比特（{n_ends} 个结局均匀分布，log2({n_ends})*1000 取整）")
print(f"单路径熵 {single} 毫比特（确定性首选项策略落到「{single_end}」，只到 1 个结局）")
print(f"路径采样熵 {sampled} 毫比特（{SAMPLE_N} 条均匀随机采样，阈值 {thr} 毫比特）")
print(f"状态枚举熵 {bfs_ent} 毫比特（BFS 全量枚举 {states} 个可达状态，{bfs_total} 个终局状态）")
print(f"归一化 {sampled * 1000 // upper} 千分（路径采样熵 / 上界）")
print(f"采样分布 " + " · ".join(f"{nm} {c}" for nm, c in zip(order, counts)))
print(f"枚举分布 " + " · ".join(f"{nm} {c}" for nm, c in zip(order, bfs_counts)))
print(f"分布占比 " + " · ".join(f"{nm} {sh}‰" for nm, sh in zip(order, shares)))
for nm, c in zip(order, counts):
if c == 0:
print(f"WARN 结局「{nm}」在 {SAMPLE_N} 条采样中一次都没被走到")
if sampled < thr:
print(f"WARN 路径采样熵 {sampled} 毫比特低于阈值 {thr} 毫比特（软告警，不硬失败）")
if budget_hit:
print(f"WARN BFS 状态数 {states} 超预算（软告警，不硬失败）")
print(f"wrote out/nm_03_1_ending_entropy.json / .csv / .svg")
print(f"OK nm_03_1_ending_entropy：上界 {upper} / 单路径 {single} / 采样 {sampled} / 枚举 {bfs_ent} 毫比特")
return 0
if __name__ == "__main__":
sys.exit(main())
本机实跑 /opt/homebrew/bin/python3 sim/nm_03_1_ending_entropy.py：
结局数 5
熵上界 2321 毫比特（5 个结局均匀分布，log2(5)*1000 取整）
单路径熵 0 毫比特（确定性首选项策略落到「灯守」，只到 1 个结局）
路径采样熵 1714 毫比特（20000 条均匀随机采样，阈值 1500 毫比特）
状态枚举熵 1888 毫比特（BFS 全量枚举 9895423 个可达状态，4211116 个终局状态）
归一化 738 千分（路径采样熵 / 上界）
采样分布 灯守 1018 · 离港 10074 · 真相 178 · 缄默 3223 · 沉没 5507
枚举分布 灯守 979816 · 离港 1740474 · 真相 27672 · 缄默 401944 · 沉没 1061210
分布占比 灯守 50‰ · 离港 503‰ · 真相 8‰ · 缄默 161‰ · 沉没 275‰
wrote out/nm_03_1_ending_entropy.json / .csv / .svg
OK nm_03_1_ending_entropy：上界 2321 / 单路径 0 / 采样 1714 / 枚举 1888 毫比特
判读：上界不是实测值
第一，2321 是上界，不是「这次跑出来的熵」。 它只取决于「有 5 个结局」这个事实——把 5 个结局摆均匀，熵就顶到 log2(5) 毫比特。任何一次实跑的采样熵都 ≤ 它。把上界当成实测值，是这套度量里最常见的错。
第二，单路径熵恒为 0，而且必须为 0。 一条路径只经历一个结局（这里是「灯守」），它的结局分布是单点分布，熵的定义就是 0。如果有人报告「单路径熵 = 1714」，那是把采样分布的熵错安到了单条路径头上。单路径熵唯一的用途是作下界：任何采样的熵都 ≥ 0，而 0 只属于「只看一条路」。
第三，两个实测口径给出不同的数：采样 1714 vs 枚举 1888。 采样口径（1714）是「随机走 20000 条路，落到各结局的频率算熵」；枚举口径（1888）是「状态空间里 4211116 个终局状态按落点分类算熵」。后者更接近结构上的分布，前者更接近随机玩法下的分布。它们都合法，但不能互换——报告时必须写清用的是哪一个。
第四，归一化 738 千分把采样熵放回上界的尺度。 1714*1000//2321 = 738，意思是「随机玩法的结局分布，覆盖了均匀分布 73.8% 的信息量」。这个数比裸熵好读，但同样只是相对量——它说的是这张图的形状，不是这段故事写得好不好。
第五，8‰ 的「真相」是分布里的长尾。 20000 条采样只有 178 条走到真相（8‰），而枚举口径下真相也最少（27672 / 4211116 ≈ 6.6‰）。两个口径在「哪个结局最稀有」上一致，这比熵的具体数值更有信息量——熵会随口径变，但「真相最稀」这个结论稳。
结局熵是代理指标：它度量「随机玩法下结局分布有多均匀」，不声称熵越高故事越好，也不声称某个具体毫比特数对应某种体验。它只做相对比较——比较不同规格、不同采样规模、不同口径下的分布形状。第 15 章会专门讲「指标不能声称什么」。
上界、下界与阈值：1500 毫比特是怎么来的
上界由结局个数定死：n 个结局均匀分布时熵最大，floor(log2(5)*1000) = 2321 毫比特。下界由路径条数定死：只看一条路径时，它的结局分布退化成单点分布，熵 = 0。所以熵的取值区间是 [0, 2321]，两个端点都不是「跑出来的」，而是从定义推出来的。
真源里 metrics.ending_entropy_min_milli_bits = 1500 是一个采样熵下限：它要求「随机玩法下的结局分布至少覆盖均匀分布 64.6% 的信息量」（1500 / 2321 ≈ 646‰）。低于它，说明随机玩几乎只落到少数几个结局——分布太塌。但**「熵过线」不等于「每个结局都被采到」**，下面的规模扫描会把这个区别摆出来。
# snippet: 结局熵随采样规模 N 的收敛（sim/nm_03_1_entropy_scale.py 的核心循环）
from nm_03_common import Rng, SEED, entropy_milli_bits, walk
UPPER = 2321
for n in (10, 100, 1000, 5000, 20000):
rng = Rng(SEED) # 每个 N 从同一种子重开 → 嵌套采样
dist = {nm: 0 for nm in order}
for _ in range(n):
name, _ = walk(spec, rng)
if name:
dist[name] += 1
ent = entropy_milli_bits([dist[nm] for nm in order], n)
print(n, ent, ent * 1000 // UPPER, sum(1 for v in dist.values() if v == 0))
本机实跑 /opt/homebrew/bin/python3 sim/nm_03_1_entropy_scale.py：
N 熵毫比特 归一化‰ 未采样结局 分布
10 1721 741 1 灯守1 离港4 真相0 缄默1 沉没4
100 1567 675 1 灯守6 离港53 真相0 缄默9 沉没32
1000 1713 738 0 灯守56 离港508 真相9 缄默149 沉没278
5000 1730 745 0 灯守270 离港2502 真相49 缄默815 沉没1364
20000 1714 738 0 灯守1018 离港10074 真相178 缄默3223 沉没5507
OK nm_03_1_entropy_scale：5 档采样规模已扫描（seed=20261016）
判读：小样本的熵不可信。 N=10 时熵 1721、N=100 时反而降到 1567、N=1000 又回到 1713——同一个图、同一种子，熵在 1567 到 1730 之间抖。更关键的是 N=100 那一行：真相被采样 0 次（未采样结局 1 个），可熵 1567 仍然高于阈值 1500。「熵过线」和「结局都被采到」是两回事——前者是分布形状的粗指标，后者要靠第 2.3 节的缺口名单去点。N ≥ 1000 后熵稳定在 1714 附近，这正是本节主脚本取 SAMPLE_N = 20000 的理由：规模不够时，熵这个数本身没有意义。
自检表
| 检查项 | 合格标准 |
|---|---|
| 四个熵分开报 | 上界 / 单路径 / 采样 / 枚举，缺一不可 |
| 上界与实测值分清 | 2321 是上界，1714 与 1888 是实测，标注口径 |
| 单路径熵为 0 | 一条路径只到 1 个结局，熵定义即 0 |
| 整数不变量 | 熵 ≥ 0 毫比特、占比 ∈ [0,1000]‰、SVG 可回读 |
四个熵把「结局分布」的静态形状量清楚了。但分布均不均匀是一回事，每条分支被走得偏不偏是另一回事——下一节把「分支的平衡与偏斜」变成一个可比的偏斜度。
阅读导航：上一节：2.3 覆盖的缺口与告警 · 下一节：3.2 分支的平衡与偏斜 。
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