站内有一篇小游戏买量与广告变现的失败复盘 ，那是事后视角的单篇教训：把「乱投一通、素材糊弄、留存崩盘」的坑按现象列出来。本节的定位不同——它讲的是买量这件事本身的机制：钱从哪一步花出去、在哪一步折损、最后能不能从玩家身上收回来。那篇告诉你「别踩什么坑」，这一节给你一台能算账的机器：改一个参数，立刻看到这个渠道是在给你赚钱还是在持续失血。两者的分工很清楚，不重复。
前四章我们把「怎么从玩家身上收钱」拆完了：广告变现、内购混合、收入建模与回本、定价促销。但一个残酷的前提是——得先有玩家。自然量能撑起的盘子有限，想放大就得花钱买量。而买量是整条商业链里唯一一个「先付钱、后回收」的环节：你先按曝光或按安装把现金付给渠道，能不能赚回来取决于之后几天的留存与付费。所以买量的本质不是「投放操作」，是一笔现金流的时间价值判断。
买量到底在买什么
外行以为买量是「买用户」，其实你买的是一次曝光机会。渠道不保证用户会点、会装、会留下来。你付的钱，换来的是把素材塞进某个人的信息流或激励视频里。从这一刻起，后面每一步都可能在折损：曝光 → 点击 → 安装 → 首局完成 → 次日留存 → 付费 → 累计 LTV。
这条链上，每一步都是一个乘法因子。渠道报价（CPM）决定分子的成本，点击率（CTR）和点击到安装率（IPM）决定分母的效率。CTR 掉一半，你的单安装成本就翻倍——但注意，这里的「翻倍」只在同机同参的相对意义上成立，绝对数值随渠道、素材、人群而剧烈漂移，任何一方都不可移植。
渠道机制：四种模型，一套漏斗
| 模型 | 结算单位 | 谁承担转化风险 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| CPM | 千次曝光 | 广告主（你） | 信息流竞价，优化空间最大 |
| oCPM | 千次曝光，按转化目标优化 | 广告主，但系统帮你找人群 | 信息流主流，需要转化回传 |
| CPC | 单次点击 | 广告主承担点击后风险 | 达人 / 搜索 / 部分联盟 |
| CPI | 单次安装 | 渠道承担点击与安装风险 | 网盟 / 激励量，单价高但省心 |
四种模型最终都能折算到同一个分母：单安装成本 CPI。这正是本节要做的事——把模型差异折叠掉，只留一条「成本 → 收入」的漏斗。oCPM 看似复杂，但一旦你有了稳定的 CTR 与 IPM，它和一个固定 CPM 在算术上没有区别，区别只在人群质量（也就是留存）。
漏斗公式：从 CPM 到 ROAS
把上面那条链写成整数公式，一切都清楚了（成本单位统一用「分」，避免浮点）：
CPI(分) = CPM(分) × 1000 / (CTR‰ × IPM‰)
累计活跃日(‰) = Σ_{d=0..N} 留存(d)‰
LTV(0.1分) = ARPDAU(0.1分) × 累计活跃日(‰) / 1000
ROAS(‰) = LTV(0.1分) × 100 / CPI(分) # 1000‰ = 回本
回本日 = 首个 LTV(d) ≥ CPI 的 d
ROAS 是衡量「这笔钱花得值不值」的核心指标：D0 ROAS 看当天能收回多少，D7 看一周，D30 看长线。1000‰ 是回本线——低于它，这个渠道在烧钱；高于它，才值得放量。而回本日告诉你这笔钱要压多久才能收回来，这直接决定你的现金流能不能撑住放量的节奏。
S 层仿真：一条链算到底
下面这段是 S 层仿真脚本 sim/l05_roi_funnel.py。它读 config/l05_roi.json 的四个渠道，用整数公式把整条漏斗算到底，输出每个渠道的 CPI、D0/D7/D30 ROAS、回本日，以及按预算折算的安装数与 D30 盈亏，并产出 JSON + CSV + SVG。
#!/usr/bin/env python3
# file: sim/l05_roi_funnel.py
# tier: S
# verify: /opt/homebrew/bin/python3 sim/l05_roi_funnel.py --config config/ --out out/
"""买量投放 ROI 漏斗仿真：把「曝光成本 → 点击 → 安装 → 留存 → 收入」整条链算成整数。
对 config/l05_roi.json 的每个渠道：
cpiFen = cpmFen * 1000 // (ctrPermille * ipmPermille) # 单安装成本（分）
activeDays(d) = (Σ_{t=0..d} retentionPermille(t)) // 1000 # 每安装累计活跃日（千分比累加）
ltvDeciFen(d) = arpdauDeciFen * activePermille(d) // 1000 # 0.1 分
roasPermille = ltvDeciFen(d) * 100 // cpiFen # ROAS 千分比（1000 = 回本）
paybackDay = 首个 ltvDeciFen(d) >= cpiFen*10 的天（否则 -1）
每日留存按锚点（D1 / D7 / D30）做整数线性插值，D30 之后持平。投放预算按 cpiFen
折算安装数，再按 D30 累计 LTV 折算回收额，得到该渠道的 D30 盈亏。
全程整数、地板除，无浮点。产出 out/l05_roi_funnel.json + .csv + .svg。
渠道参数是「公开可观察机制」口径的建模假设；真实出价、真实归因结果需真实业务
环境，命令行不可复现（X）。
"""
from __future__ import annotations
import argparse
import csv
import json
import os
import xml.etree.ElementTree as ET
HORIZON = 30
def daily_retention(ch: dict, d: int) -> int:
"""第 d 日留存千分比（d=0 安装日恒 1000）；锚点之间整数线性插值。"""
if d <= 0:
return 1000
r1, r7, r30 = ch["retainD1Permille"], ch["retainD7Permille"], ch["retainD30Permille"]
if d <= 7:
return r1 + (r7 - r1) * (d - 1) // 6
if d <= 30:
return r7 + (r30 - r7) * (d - 7) // 23
return r30
def cumulative_active_permille(ch: dict, n: int) -> int:
"""每安装的累计活跃日，单位千分比日（1000 = 一整日）。"""
return sum(daily_retention(ch, d) for d in range(0, n + 1))
def evaluate(ch: dict, budget_fen: int) -> dict:
cpi = ch["cpmFen"] * 1000 // (ch["ctrPermille"] * ch["ipmPermille"])
ltv = {n: ch["arpdauDeciFen"] * cumulative_active_permille(ch, n) // 1000
for n in (0, 7, 30)}
roas = {n: ltv[n] * 100 // cpi for n in (0, 7, 30)}
payback = -1
for d in range(0, HORIZON + 1):
if ch["arpdauDeciFen"] * cumulative_active_permille(ch, d) // 1000 >= cpi * 10:
payback = d
break
installs = budget_fen // cpi
d30_revenue_fen = installs * ltv[30] // 10
return dict(ch, cpiFen=cpi, ltvD0DeciFen=ltv[0], ltvD7DeciFen=ltv[7], ltvD30DeciFen=ltv[30],
roasD0Permille=roas[0], roasD7Permille=roas[7], roasD30Permille=roas[30],
paybackDay=payback, budgetFen=budget_fen, installs=installs,
d30RevenueFen=d30_revenue_fen, d30ProfitFen=d30_revenue_fen - budget_fen)
def draw_svg(path: str, rows: list[dict]) -> int:
"""纯 Python SVG：每个渠道两根横条——D0 ROAS 与 D30 ROAS（回本线 1000）。"""
W, H, PAD, ROW = 760, 70 + 64 * len(rows), 170, 64
root = ET.Element("svg", {"xmlns": "http://www.w3.org/2000/svg", "width": str(W),
"height": str(H), "viewBox": f"0 0 {W} {H}"})
ET.SubElement(root, "rect", {"width": str(W), "height": str(H), "fill": "#ffffff"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": "16", "y": "28", "font-size": "15",
"fill": "#111827"}).text = "《合成小岛》各渠道 D0 / D30 ROAS（千分比，1000=回本）"
span = W - PAD - 24
hi = max([r["roasD30Permille"] for r in rows] + [1200]) or 1
x1000 = PAD + span * 1000 // hi
ET.SubElement(root, "line", {"x1": str(x1000), "y1": "44", "x2": str(x1000), "y2": str(H - 16),
"stroke": "#ef4444", "stroke-dasharray": "4 4"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(x1000 + 4), "y": "58", "font-size": "11",
"fill": "#ef4444"}).text = "回本线 1000"
for i, r in enumerate(rows):
y = 60 + i * ROW
ET.SubElement(root, "text", {"x": "16", "y": str(y + 22), "font-size": "12",
"fill": "#374151"}).text = r["name"]
for j, (key, color, label) in enumerate([("roasD0Permille", "#93c5fd", "D0"),
("roasD30Permille", "#2563eb", "D30")]):
w = span * r[key] // hi
ET.SubElement(root, "rect", {"x": str(PAD), "y": str(y + 6 + j * 20), "width": str(w),
"height": "16", "rx": "3", "fill": color})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(PAD + w + 6), "y": str(y + 18 + j * 20),
"font-size": "11", "fill": "#6b7280"}).text = (
f'{label} {r[key]}‰ · CPI {r["cpiFen"]}分 · 回本 D{r["paybackDay"]}')
os.makedirs(os.path.dirname(path), exist_ok=True)
ET.ElementTree(root).write(path, encoding="utf-8", xml_declaration=True)
return len(ET.tostring(root))
def main() -> int:
ap = argparse.ArgumentParser()
ap.add_argument("--config", default="config/")
ap.add_argument("--out", default="out/")
args = ap.parse_args()
with open(os.path.join(args.config, "l05_roi.json"), encoding="utf-8") as f:
cfg = json.load(f)
rows = [evaluate(ch, cfg["budgetFen"]) for ch in cfg["channels"]]
# 跨语言对拍摘要：core/test/l05_roi.test.ts 复算同一串数字，逐位比对。
digest = ",".join(
f'{r["id"]}:{r["cpiFen"]}:{r["roasD0Permille"]}:{r["roasD7Permille"]}'
f':{r["roasD30Permille"]}:{r["paybackDay"]}' for r in rows)
os.makedirs(args.out, exist_ok=True)
svg_bytes = draw_svg(os.path.join(args.out, "l05_roi_funnel.svg"), rows)
report = {"version": cfg["version"], "game": cfg["game"], "observedAt": cfg["observedAt"],
"budgetFen": cfg["budgetFen"], "horizonDays": HORIZON, "channelCount": len(rows),
"channels": rows, "digest": digest,
"bestByD30": max(rows, key=lambda r: r["roasD30Permille"])["id"],
"svg": os.path.join(args.out, "l05_roi_funnel.svg"), "svgBytes": svg_bytes}
with open(os.path.join(args.out, "l05_roi_funnel.json"), "w", encoding="utf-8") as f:
json.dump(report, f, ensure_ascii=False, indent=2)
with open(os.path.join(args.out, "l05_roi_funnel.csv"), "w", encoding="utf-8", newline="") as f:
w = csv.writer(f)
cols = ("id", "name", "model", "cpmFen", "ctrPermille", "ipmPermille", "cpiFen",
"ltvD0DeciFen", "ltvD7DeciFen", "ltvD30DeciFen", "roasD0Permille",
"roasD7Permille", "roasD30Permille", "paybackDay", "installs",
"d30RevenueFen", "d30ProfitFen")
w.writerow(cols)
for r in rows:
w.writerow([r[k] for k in cols])
print(json.dumps({"channels": [{"id": r["id"], "cpiFen": r["cpiFen"],
"roasD0Permille": r["roasD0Permille"],
"roasD7Permille": r["roasD7Permille"],
"roasD30Permille": r["roasD30Permille"],
"paybackDay": r["paybackDay"]} for r in rows],
"digest": digest, "bestByD30": report["bestByD30"]},
ensure_ascii=False, indent=2))
return 0
if __name__ == "__main__":
raise SystemExit(main())
渠道参数放在 config/l05_roi.json。注意这里的数字是「公开可观察机制」口径的建模假设，不是任何渠道后台的实测：真实出价、真实归因结果属于 X 层——需真实业务环境，命令行不可复现。
{
"version": 1,
"game": "merge-island",
"observedAt": "2026-10",
"budgetFen": 3000000,
"note": "买量渠道机制参数，口径是「公开可观察机制」的建模假设，不是任何渠道后台实测。cpmFen=千次曝光成本（分）；ctrPermille=曝光→点击千分比；ipmPermille=点击→安装千分比；arpdauDeciFen=0.1 分/DAU/日（含 IAA+IAP）；retainD1/D7/D30Permille=第 1/7/30 日留存千分比（安装日恒 1000）。真实出价、真实归因结果需真实业务环境，命令行不可复现（X）。全整数，无浮点。",
"channels": [
{ "id": "feed", "name": "信息流(oCPM)", "model": "oCPM", "cpmFen": 1600, "ctrPermille": 30, "ipmPermille": 140, "arpdauDeciFen": 520, "retainD1Permille": 430, "retainD7Permille": 180, "retainD30Permille": 110 },
{ "id": "rewarded", "name": "激励视频(CPI)", "model": "CPI", "cpmFen": 2400, "ctrPermille": 55, "ipmPermille": 190, "arpdauDeciFen": 380, "retainD1Permille": 360, "retainD7Permille": 150, "retainD30Permille": 90 },
{ "id": "kol", "name": "达人合作(CPC)", "model": "CPC", "cpmFen": 4200, "ctrPermille": 45, "ipmPermille": 170, "arpdauDeciFen": 900, "retainD1Permille": 470, "retainD7Permille": 230, "retainD30Permille": 140 },
{ "id": "union", "name": "联盟/网盟(CPI)", "model": "CPI", "cpmFen": 900, "ctrPermille": 18, "ipmPermille": 110, "arpdauDeciFen": 240, "retainD1Permille": 240, "retainD7Permille": 95, "retainD30Permille": 50 }
]
}
在本机跑 for f in sim/l05_*.py; do /opt/homebrew/bin/python3 "$f" --config config/ --out out/; done，这一条链跑出来的结果（同机相对量级，绝对数值不可移植）：
| 渠道 | CPI(分) | D0 ROAS‰ | D7 ROAS‰ | D30 ROAS‰ | 回本日 |
|---|---|---|---|---|---|
| 信息流 oCPM | 380 | 136 | 428 | 878 | 未回本 |
| 激励视频 CPI | 229 | 165 | 462 | 913 | 未回本 |
| 达人合作 CPC | 549 | 163 | 565 | 1253 | D21 |
| 联盟网盟 CPI | 454 | 52 | 114 | 200 | 未回本 |
这张表就是买量决策的全部依据：只有达人渠道在 D21 回本（D30 ROAS 1253‰ > 1000），其余三个渠道到 D30 都没回本。注意联盟渠道——它 CPI 不算最高（454 分），但 D30 ROAS 只有 200‰，是典型的「便宜但垃圾」：便宜是买来的低质安装，留存撑不起回收。
P 层内核：跨语言对拍，证明公式没写错
光看一张表，你没法确认「是模型对」还是「算错了碰巧看着对」。本套用一份 P 层 TypeScript 内核 core/src/l05/roi.ts 复算同一条链：同样的整数地板除、同样的留存插值、同样的回本判定。它读同一份 config/l05_roi.json，产出和 Python 逐字符一致的摘要。
// file: core/src/l05/roi.ts
// tier: P
// verify: node --test 'core/test/l05_*.test.ts'
//
// 买量 ROI 漏斗内核：与 sim/l05_roi_funnel.py 逐位等价的 TypeScript 对偶实现。
// 读同一份 config/l05_roi.json；全整数、地板除、无浮点；只用可擦除语法（禁 enum / namespace）。
export interface RoiChannel {
readonly id: string; readonly name: string; readonly model: string;
readonly cpmFen: number; readonly ctrPermille: number; readonly ipmPermille: number;
readonly arpdauDeciFen: number;
readonly retainD1Permille: number; readonly retainD7Permille: number; readonly retainD30Permille: number;
}
export interface RoiConfig {
readonly version: number; readonly game: string; readonly budgetFen: number;
readonly channels: readonly RoiChannel[];
}
export interface RoiResult {
readonly id: string; readonly cpiFen: number;
readonly ltvD0DeciFen: number; readonly ltvD7DeciFen: number; readonly ltvD30DeciFen: number;
readonly roasD0Permille: number; readonly roasD7Permille: number; readonly roasD30Permille: number;
readonly paybackDay: number; readonly installs: number; readonly d30ProfitFen: number;
}
export const HORIZON = 30;
/** 第 d 日留存千分比（d=0 安装日恒 1000）；D1/D7/D30 锚点之间整数线性插值。 */
export function dailyRetention(ch: RoiChannel, d: number): number {
if (d <= 0) return 1000;
const { retainD1Permille: r1, retainD7Permille: r7, retainD30Permille: r30 } = ch;
if (d <= 7) return r1 + Math.floor(((r7 - r1) * (d - 1)) / 6);
if (d <= 30) return r7 + Math.floor(((r30 - r7) * (d - 7)) / 23);
return r30;
}
/** 每安装的累计活跃日，单位千分比日（1000 = 一整日）。 */
export function cumulativeActivePermille(ch: RoiChannel, n: number): number {
let sum = 0;
for (let d = 0; d <= n; d += 1) sum += dailyRetention(ch, d);
return sum;
}
export function evaluate(ch: RoiChannel, budgetFen: number): RoiResult {
const cpiFen = Math.floor((ch.cpmFen * 1000) / (ch.ctrPermille * ch.ipmPermille));
const ltv = (n: number) => Math.floor((ch.arpdauDeciFen * cumulativeActivePermille(ch, n)) / 1000);
const roas = (n: number) => Math.floor((ltv(n) * 100) / cpiFen);
let paybackDay = -1;
for (let d = 0; d <= HORIZON; d += 1) {
if (ltv(d) >= cpiFen * 10) { paybackDay = d; break; }
}
const installs = Math.floor(budgetFen / cpiFen);
const d30RevenueFen = Math.floor((installs * ltv(30)) / 10);
return { id: ch.id, cpiFen, ltvD0DeciFen: ltv(0), ltvD7DeciFen: ltv(7), ltvD30DeciFen: ltv(30),
roasD0Permille: roas(0), roasD7Permille: roas(7), roasD30Permille: roas(30), paybackDay,
installs, d30ProfitFen: d30RevenueFen - budgetFen };
}
export function evaluateAll(cfg: RoiConfig): RoiResult[] {
return cfg.channels.map((ch) => evaluate(ch, cfg.budgetFen));
}
/** 跨语言对拍摘要：与 sim/l05_roi_funnel.py 的 digest 逐字符一致。 */
export function digest(rows: readonly RoiResult[]): string {
return rows.map((r) => `${r.id}:${r.cpiFen}:${r.roasD0Permille}:${r.roasD7Permille}:`
+ `${r.roasD30Permille}:${r.paybackDay}`).join(",");
}
配套测试 core/test/l05_roi.test.ts 把 Python 落盘的摘要写成金标准，断言 TS 内核复算结果逐字符相等，并顺手验回本判定与留存插值。在本机跑 node --test 'core/test/l05_*.test.ts'，5 个用例全过；两套独立实现给出同一个摘要：
digest = feed:380:136:428:878:-1,rewarded:229:165:462:913:-1,kol:549:163:565:1253:21,union:454:52:114:200:-1
只要有一边的整数语义、插值方向、回本阈值写错，摘要立刻分叉。这和卷二「一份逻辑、两种宿主」 是同一个信念：同一个数，在 Python 仿真、TS 内核、浏览器原型里必须长得一模一样。
X 层：真实渠道后台不可复现
必须把边界划清。上面算的是模型侧：给定 CTR、IPM、留存，成本与回收是多少。而下面这些东西属于 X 层，需真实业务环境，命令行不可复现：
- 真实的 CPM 出价与竞价胜出价（同一素材、同一人群，不同时段能差很多）；
- 真实的 CTR / IPM（受素材、人群、渠道算法共同影响，且平台侧不透明）；
- 真实的归因结果与平台侧「学习期」行为（归因窗口、去重规则由第三方服务商定义；oCPM 冷启动阶段成本虚高，跑稳需要样本量）。
这些都不是「跑个脚本就能知道」的。工程上正确的做法是：把可复现的模型层与不可复现的真实数据层分开——模型层用来做决策前的「如果…会怎样」，真实数据层用来在投放后反标定模型参数（把实测 CTR / 留存填回 config，模型立刻反映现实）。这也是第 11 章埋点口径要跟模型字段一一对应的原因。
自检表
| 检查项 | 合格标准 |
|---|---|
| 漏斗完整 | 曝光 / 点击 / 安装 / 留存 / 付费每一环都有数，没有断点 |
| 成本口径 | 统一到「分」的整数，CPI 可复算 |
| 回本判定 | 每个渠道都算 D0/D7/D30 ROAS 与回本日 |
| 模型可反标定 | config 字段能直接吃线上实测值 |
| 归因明确 | 点击还是曝光、窗口多长、由谁归因，写在案上 |
| 边界清晰 | 真实后台数据标 X，不写成「实测」 |
买量最危险的错觉，是把「模型算出来的数」当成「平台会给我的数」。模型只回答「在假设成立时结果如何」，假设是否成立要靠投放后的真实数据去证伪。下一节我们处理这条链上唯一由你完全掌控、也最影响 CTR 的变量——素材：怎么批量产出、怎么小额测试、怎么迭代淘汰、怎么放量。
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