《计算机图形学》卷一《几何、变换与光栅化》目录

这是《计算机图形学》三卷本的第一卷。它回答一个问题：渲染能不能被还原成整数，而且这种还原是可证伪的？

站内的图形学内容已经很多，但基本落在现代图形 API 的实时渲染工程这一侧：graphics/ 专题 45 篇讲管线理论、MSAA/FXAA/TAA、延迟与集群前向、GPU Driven、光追混合；《渲染引擎》 55 篇用 TypeScript 从零搭一个可跑的 helio；《技术美术与管线工程》 50 篇做 LOD 预算、三角预算、显存账与 mip 字节账。它们都跑在 GPU 上，产出的是帧率、draw call 与预算。

「同一条管线，如果只用整数跑在 CPU 上，它到底在算什么、误差从哪来、能不能被逐字节证明」——这一段没有人占。 而这一段恰恰是可计算、可跑、可证伪的一段。这一卷补的就是这一段的地基。

做法只有一句话：一份场景规格，三种宿主消费，两条一致性纪律。config/scene_spec.json 是唯一真源（相机 / 光源 / 材质 / 网格 / 渲染参数），它同时驱动三处——S 层 Python + numpy 的 CPU 定点软光栅化器（基准真源）、P 层 TypeScript 的定点光栅化内核（node --test）、W 层浏览器里的 WebGL2 着色器（Playwright 读像素）。三处读的是同一个文件。

两条纪律是这一卷最硬的部分：① 整数与定点逐位一致——顶点变换走 Q16.16、三角形覆盖走整数边函数、重心坐标与深度走定点、子像素用 6 位精度，于是同一份规格在 Python 与 TypeScript 下产出逐字节相同的像素缓冲（sha256 比对）。这条是可证伪的：任何一处运算顺序或舍入不同，摘要立刻不同。② 浮点按声明容差——GPU 的光栅化规则（top-left rule、子像素精度、插值方式）与 CPU 不同，逐位一致在数学上不可能，故 W 层一律用声明容差断言（不一致像素占比、MAE、PSNR），正文不写「逐位相等」。

贯穿全书的是虚构场景 《烛影山谷》（工程名 lantern）与同名工具链：config/ 放规格，sim/ 是 Python 仿真，core/ 是 TypeScript 定点内核，web/ 把内核内联进单文件 HTML 交给无头浏览器真渲染。场景全部由程序生成，不引入任何第三方素材。

这套书与站内既有内容的分工

站内已经有大量相邻内容，写清分工比重复写一遍更有价值。下面这几处边界是本卷最容易混淆的，务必分清：

• 图形渲染管线理论 讲的是现代可编程管线与 API 阶段（顶点/几何/片元、命令缓冲、同步）。本卷第 1 章讲的是同一条管线在 CPU 上的整数实现：没有 API，只有四个步骤与它们的定点算术。
• 图形学数学基础 是浮点数学库（向量、矩阵、四元数，用 float）。本卷第 2–4 章是定点数学与可复现性：同一个点积，Q16.16 与 double 给出的答案不同，而前者可以被两种语言逐位复现。
• OpenGL 核心模式管线 与 Vulkan 初始化与渲染管线 是 API 用法（创建对象、绑定状态、提交命令）。本卷第 3 章与第 8 章是矩阵链的整数化推导与 Sutherland–Hodgman 的整数实现——同一个裁剪算法，去掉 API 之后剩下什么。
• 抗锯齿方法 讲 MSAA / FXAA / TAA 的 API 实现与性能。本卷第 6 章与第 11 章从整数边函数出发推覆盖率，把「覆盖率」写成一个可以逐像素断言的整数，再看超采样与 MSAA 在 CPU 上怎么实现。
• 纹理显存管理 讲纹理的显存占用、格式、压缩与流式加载。本卷第 10 章与第 12 章讲深度缓冲的定点精度分布与采样、过滤、mipmap 的定点实现——关注的是数值，不是显存。
• 剔除与可见性系统 是 GPU 上的视锥剔除、BVH 与 Hi-Z。本卷第 5 章与第 9 章讲视锥的解析构造、近平面的数值与朝向符号的精确判定：剔除为什么能成立，靠的是边函数的符号。
• GPU 驱动渲染与 LOD 是把剔除搬到 GPU 上。本卷第 9 章只做一件事：证明环绕顺序与法线朝向的关系在定点下是可判定的。
• 后处理 是后处理链的 API 与性能。本卷第 7 章讲的是线段的整数判定与误差界（DDA 与 Bresenham）——一个几乎没有浮点的算法。
• GPU 剖析与调试 是GPU 侧的计时与抓帧工具。本卷第 14 章讲中间缓冲（深度图、法线图、覆盖率图、线框图）的可视化与断言：在没有 GPU 抓帧器的情况下，怎么用 CPU 的中间缓冲定位问题。
• glTF 资产管线 是资产导入导出。本卷第 15 章讲程序化网格生成、网格表示与场景图遍历——几何从哪来，而不是文件怎么读。
• 骨骼动画 用四元数驱动蒙皮。本卷第 4 章把四元数当可断言的整数旋转：万向节死锁可以演示、朝向插值可以量化、双覆盖可以验证。
• 《渲染引擎》 （TS 可跑引擎 helio）是引擎架构：RHI 抽象、命令队列、双后端、帧图。本卷第 13 章是同一算法跨语言的逐字节证明——同一个内核，两种语言，一个摘要。
• 《技术美术与管线工程》 是管线闸门与预算。本卷第 16 章是可执行规格的三消费联调：不是预算够不够，而是三处产出的图像与中间缓冲是否互相自洽。
• Unity/SRP 口径的渲染管线 讲的是引擎侧怎么配管线。本卷第 16 章讲的是一份规格怎么被三种宿主消费并互相校验。

一句话：本卷做的是「渲染的每一步能不能写成整数、这些整数能不能被两种语言复现、误差从哪来」，不是「怎么用图形 API 把画面画出来」，也不是「怎么让画面更好看」。

明确不在本卷范围内

为了让边界清楚，下面这些这一卷不讲：

• 图形 API 的用法与工程实践（OpenGL / Vulkan / WebGPU / Metal 的对象模型、命令缓冲、同步、资源状态）——见 graphics/ 专题与《渲染引擎》。
• 着色模型、BRDF、阴影、色彩管理与后处理链——这些是**卷二《着色、光照与纹理》**的内容。
• 光线求交、加速结构、蒙特卡洛与全局光照——这些是**卷三《光线追踪与全局光照》**的内容。
• 性能优化与移动端适配——见 移动端渲染优化 等篇。
• 真实 GPU 上的性能剖析与真实驱动的浮点差异：本机 headless 的 WebGL2 后端是 ANGLE/SwiftShader 软件实现，不是真实 GPU。凡涉及真实硬件的结论，正文逐处显式标注「需真实 GPU 环境，命令行不可复现」。
• 任何第三方素材：贯穿案例为虚构场景，所有 PNG / SVG / GIF 由程序化生成。

可运行性六档口径

本卷每一节的代码块头部注释里都写着它属于哪一档。所有代码块都在本机实跑过，正文数字等于实跑输出；但「整卷项目复现」（把全部配置与共享模块一次性组装跑通）由第 16 章交付，本页不单独声称。

「渲染正确」在本卷被操作化成几个可算的代理指标（覆盖率一致性、图像误差 MAE 与 PSNR、定点不变量残差、走样阈值），只用于相对比较，禁绝对化——它们证明的是「这套实现自洽、可控、可分辨」，不是「画质更好」。

贯穿案例《烛影山谷》场景总览

全书只用一份规格 config/scene_spec.json 驱动。它是一个程序化生成的小场景：一片起伏地形（16×16 格点的双线性高度场 + smoothstep 噪声）、三个不同材质与位置的球体（八面体细分）、一盏方向光与一个环境光项（点光源与更复杂的光照模型留到卷二），以及一条可以逐帧推进的相机路径。所有几何与颜色都由规格里的整数生成。

渲染参数

相机与光照

基线一帧的实测结果（S 层 sim/render_raster.py 与 P 层 core/tools/render_raster_ts.ts 产出逐字节相同的像素缓冲）：

canvas        : 320x240
vertices      : 487
triangles     : 896 drawn / 896 total (0 dropped, 290 culled)
pixels covered: 43731 (569‰)
sha256(rgb)   : bac659770178037ad3f6a6ad184945a96ff37a7fe4d754ef1ebc5b0aaa538ced
elapsed       : 86.4 ms

读法：场景共 487 个顶点、896 个三角形；背面剔除掉 290 个（屏幕空间逆时针为正面），其余 896 个全部通过相机（0 dropped）；覆盖 43731 个像素，占画布 320×240 = 76800 像素的 569‰。这一行 sha256 就是「两种语言逐字节一致」的可验证点——它是全书最硬的一条断言。

W 层（WebGL2，同一份规格）与 S 层的容差比对实测：

GL 后端         : ANGLE (Google, Vulkan 1.3.0 (SwiftShader Device), SwiftShader driver)
GL 版本         : WebGL 2.0 (OpenGL ES 3.0 Chromium)
覆盖归属不同    : 6 / 76800 (0.08‰)   ← 主判据
显著差异像素    : 28 / 76800 (0.36‰)  ← 共享边归属差异
MAE             : 0.2848
PSNR            : 47.79 dB

读法：35112 个像素的通道差恰好是 1（纯舍入），只有 28 个像素差异超过 2——它们全部落在共享边上，来自 CPU 的 >= 0 与 GPU 的 top-left rule 对边像素归属的不同判定。这正是「浮点按声明容差」的含义。

底座：三种消费的公共入口

三种消费共享同一套底座：S 层公共库 sim/cglib.py，P 层内核 core/src/lantern/{fixed,vec,mat,project,noise,mesh,scene,raster,pipeline}.ts，W 层打包器 web/pack.mjs 与验证器 web/verify_raster01.mjs。底座只读，各章只在它之上写自己那一节的脚本与断言。

下面这段是全部定点算术的根，也是两条纪律里第一条的落点。它是 core/src/lantern/fixed.ts 的完整内容，与工作区文件逐字节一致：

// file: lantern/core/src/lantern/fixed.ts
// tier: P
// verify: node --test 'core/test/cg_raster_*.test.ts'
// Q16.16 定点标量（BigInt 实现）：与 Python 侧 sim/cglib.py 的 fmul/fdiv/fsqrt 逐字对齐。
//
// 为什么用 BigInt 而不是 Number：
//   Number 的 `>>` 只对 32 位有效，矩阵链的中间量可达 2^34 量级，
//   一旦溢出会静默给出错误结果。BigInt 是无限精度，与 Python 的 int 语义一致。
//   逐像素层（raster.ts）量级 <= 2^49.6 < 2^53，可以用 Number + Math.floor。
//
// 舍入铁律：
//   - 降精度一律用 `>>`（算术右移 = 向下取整），Python 与 BigInt 两侧同义
//   - 定点除法用 fdiv（向零截断），禁止裸 `/`：Python 的 `//` 是 floor，
//     与 BigInt 的 `/`（向零截断）在负数上不一致，冒烟阶段实测过这个坑

export const ONE = 65536n; // Q16.16 的 1.0
export const SUB = 6; // 屏幕空间子像素位数
export const SUB1 = 64; // 1 像素 = 64 单位

/** Q16.16 乘法：降精度用算术右移（负数向下取整，两侧一致）。 */
export function fmul(a: bigint, b: bigint): bigint {
  return (a * b) >> 16n;
}

/** Q16.16 除法：向零截断（与 Python 侧显式实现一致）。 */
export function fdiv(a: bigint, b: bigint): bigint {
  if (b === 0n) throw new Error("fdiv by zero");
  const q = ((a < 0n ? -a : a) << 16n) / (b < 0n ? -b : b);
  return a < 0n !== b < 0n ? -q : q;
}

/** BigInt 精确整数平方根：floor(sqrt(n))，与 Python 的 math.isqrt 同义。 */
export function isqrt(n: bigint): bigint {
  if (n < 0n) throw new Error("isqrt of negative");
  if (n < 2n) return n;
  let x = n;
  let y = (x + 1n) >> 1n;
  while (y < x) {
    x = y;
    y = (x + n / x) >> 1n;
  }
  return x;
}

/** Q16.16 平方根：floor(sqrt(x << 16))，与 Python 侧 math.isqrt(x << 16) 一致。 */
export function fsqrt(x: bigint): bigint {
  if (x <= 0n) return 0n;
  return isqrt(x << 16n);
}

/** 整数 -> Q16.16。 */
export function fFromInt(n: number | bigint): bigint {
  return BigInt(n) << 16n;
}

/** Q16.16 -> 整数，向零截断。 */
export function fToInt(a: bigint): bigint {
  const q = (a < 0n ? -a : a) >> 16n;
  return a < 0n ? -q : q;
}

三条跨语言纪律（违反其一，逐字节一致必然崩）：① 降精度一律用算术右移，定点除法用显式向零截断的实现，禁用裸 / 与 //——Python 的 // 是 floor，与 BigInt 的 /（向零截断）在负数上不一致；② config/ 禁浮点，全部走定点整数或整数千分比，矩阵链的中间量必须在 BigInt 里算（Number 的 >> 只对 32 位有效）；③ 整数类可以写「逐字节相同」，感知类派生量按声明容差断言，正文不写「GPU 与 CPU 逐位相等」。

全书目录（16 章 48 节）

第一部分 · 把渲染还原成整数（第 1–4 章）

第 1 章 渲染的最小模型（D+S）

• 1.1 从场景到像素 ：把渲染拆成四步，用整数重述（D+S）
• 1.2 场景规格的字段 ：一份规格的字段全表与校验（D）
• 1.3 最小渲染器的骨架 ：四段骨架与第一帧（S）

第 2 章 向量、点与齐次坐标（S+P）

• 2.1 向量运算的定点化 ：点积叉积为什么必须降精度（S+P）
• 2.2 点与向量的区别 ：w=1 与 w=0 的语义（S+P）
• 2.3 齐次坐标与投影 ：透视除法与屏幕映射（S+P）

第 3 章 矩阵与变换管线（S+P）

• 3.1 模型矩阵 ：平移旋转缩放的复合顺序（S+P）
• 3.2 视图矩阵 ：lookAt 的推导与退化（S+P）
• 3.3 投影矩阵与 MVP 合成 ：完整一帧与 sha256（S+P）

第 4 章 旋转与朝向（S+P）

• 4.1 旋转矩阵与欧拉角 ：定点三角函数表（S+P）
• 4.2 四元数与万向节死锁 ：把死锁演示出来（S+P）
• 4.3 朝向的插值 ：nlerp、slerp 与双覆盖（S+P）

第二部分 · 光栅化（第 5–8 章）

第 5 章 相机与投影（S+P）

• 5.1 针孔相机模型 ：视场角与焦距的换算（S+P）
• 5.2 透视与正交投影 ：两种投影的逐项对比（S+P）
• 5.3 视锥与近远平面 ：深度精度的分布曲线（S+P）

第 6 章 三角形的光栅化（S+P+W）

• 6.1 边函数与覆盖判定 ：有向面积与环绕方向（S+P）
• 6.2 重心坐标与插值 ：权重和恒等于面积（S+P）
• 6.3 深度插值与 z-buffer ：严格小于与顺序敏感性（S+W）

第 7 章 直线的光栅化（S+P）

• 7.1 DDA 与 Bresenham ：两种整数画线（S+P）
• 7.2 直线光栅化的误差界 ：误差上界的证明（S+P）
• 7.3 线宽与直线抗锯齿 ：覆盖率作为线宽（S+P）

第 8 章 裁剪（S+P）

• 8.1 视锥裁剪 ：六个平面的整数判定（S+P）
• 8.2 近平面裁剪与多边形重建 ：Sutherland–Hodgman（S+P）
• 8.3 屏幕空间裁剪 ：矩形裁剪与保护带（S+P）

第三部分 · 深度、采样与纹理（第 9–12 章）

第 9 章 背面剔除与朝向（S+P）

• 9.1 环绕顺序与法线朝向 ：符号的精确判定（S+P）
• 9.2 剔除的判定与代价 ：剔掉多少、省下多少（S+P）
• 9.3 双面材质 ：翻转法线的两种做法（S+P）

第 10 章 深度与可见性（S+P）

• 10.1 深度缓冲的精度分布 ：精度都花在哪一段（S+P）
• 10.2 深度冲突与逆转 z ：冲突的量化与逆转 z（S+P）
• 10.3 画家算法与深度排序 ：排序为什么不可靠（S+P）

第 11 章 抗锯齿与采样（S+P+W）

• 11.1 采样定理与走样 ：走样的整数度量（S+P）
• 11.2 超采样与覆盖率 ：把覆盖率当真值（S+P）
• 11.3 MSAA 的 CPU 实现 ：多重采样与解析（S+W）

第 12 章 纹理映射（S+P+W）

• 12.1 UV 与纹理坐标 ：寻址与环绕（S+P）
• 12.2 透视校正插值 ：为什么必须除以 w（S+P）
• 12.3 纹理过滤与 mipmap ：过滤核与 mip 链（S+W）

第四部分 · 一致性与装配（第 13–16 章）

第 13 章 光栅化的数值一致（S+P）

• 13.1 定点与浮点的分歧 ：分歧从哪来（S+P）
• 13.2 边函数规则的整数化 ：把 top-left 写成整数（S+P）
• 13.3 跨语言逐位一致的验证 ：一个摘要证明一切（S+P）

第 14 章 渲染器的调试视图（S+W）

• 14.1 深度图与法线图 ：把中间缓冲画出来（S）
• 14.2 覆盖率与线框 ：覆盖率图与线框叠加（S）
• 14.3 中间缓冲的可视化与断言 ：用缓冲定位问题（S+W）

第 15 章 场景与几何的生成（S+P）

• 15.1 程序化网格生成 ：地形与球体的生成（S+P）
• 15.2 网格的表示与加载 ：顶点索引与法线（S+P）
• 15.3 场景图与遍历 ：层级变换的累积（S+P）

第 16 章 装配：从零到第一帧（S+P+W+B）

• 16.1 光栅化管线的装配 ：交付前的装配检查表（D）

• 16.2 三种消费的联调 ：三处一起跑（S+P+W）

• 16.3 交付卷二 ：把规格交给卷二（S+P）

• 附录：附录 A 场景规格字段表、定点约定与数据集索引

怎么读

三条路径，按你的目的挑一条：

• 先看主张：读本页的引语与《烛影山谷》场景总览，再跳到第 1 章 1.1 从场景到像素 看四个步骤，最后看第 13 章 13.3 跨语言逐位一致的验证 看「逐字节相同」怎么被证明。
• 直接动手：从第 1 章 1.2 场景规格的字段 开始读规格，依次走第 3 章 3.3 投影矩阵与 MVP 合成 （顶点变换）、第 6 章 6.1 边函数与覆盖判定 （光栅化）、第 6 章 6.3 深度插值与 z-buffer （可见性），最后用第 16 章 16.1 光栅化管线的装配 收口。
• 只看结论：直接看第 16 章 16.2 三种消费的联调 与附录 A ——那里有字段全表、定点约定、不变量清单与全部数据集索引。

可运行性总表（各章档位分布）

整卷口径：每一节至少有一个 S / P / W 档的可跑代码块；S 层脚本逐个跑（/opt/homebrew/bin/python3 sim/cg_raster_*.py），P 层写全 glob（node --test 'core/test/cg_raster_*.test.ts'），W 层用 web/verify_raster<NN>.mjs 无头断言；B 层软告警不硬失败。完整字段表、定点约定与数据集索引见附录 A 。